6.数理统计

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总体与样本

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常见统计量

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三大分布

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四个结论

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或：

要解答这个问题，首先需要理解题目中给出的随机变量和它们的分布情况。题目中提到 $X_1, X_2, \ldots, X_n$是独立同分布的随机变量，且均服从正态分布 $N(0,1)$。这意味着每个 $X_i$的期望 $E(X_i) = 0$和方差 $Var(X_i) = 1$。

接下来，题目定义了 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$和 $Y_i = X_i - \overline{X}$，其中 $i = 1, 2, \ldots, n$。我们需要计算 $Y_i$的方差 $DY_i$。

首先，计算 $\overline{X}$的方差：
$$Var(\overline{X}) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 1 = \frac{1}{n}$$

因为 $X_i$是独立的，所以 $Var(\overline{X})$可以这样计算。

接下来，计算 $Y_i$的方差：
$$Y_i = X_i - \overline{X}$$
$$Var(Y_i) = Var(X_i - \overline{X}) = Var(X_i) + Var(\overline{X}) - 2Cov(X_i, \overline{X})$$

由于 $X_i$和 $\overline{X}$不是独立的（因为 $\overline{X}$是 $X_i$的平均值），我们需要计算它们的协方差 $Cov(X_i, \overline{X})$：
$$Cov(X_i, \overline{X}) = Cov\left(X_i, \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_j\right) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} Cov(X_i, X_j)$$

对于 $i \neq j$，$Cov(X_i, X_j) = 0$（因为 $X_i$和 $X_j$是独立的），对于 $i = j$，$Cov(X_i, X_i) = Var(X_i) = 1$。因此：
$Cov(X_i, \overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot 1 = \frac{1}{n}$

将这些值代入 $Var(Y_i)$的公式中：
$Var(Y_i) = 1 + \frac{1}{n} - 2 \cdot \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$

因此，$Y_i$的方差 $DY_i = 1 - \frac{1}{n}$。

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