高等数学9一元函数积分学的计算

9.一元函数积分学的计算

基本公式

不定积分的积分法

凑微分法

换元法

分部积分法

有理函数的积分

定积分的计算（例题）

点火公式

变限积分的计算

重要结论

反常积分的计算（例题）

$$ Γ$$函数

tips：

倒代换；区间重现

注意：

$$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) , dx$$

$$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) , dx = \int_{\pi}^{0} (\pi - t) f(\sin(\pi - t)) (-dt) = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) , dt$$

注意到 $$\sin(\pi - t) = \sin t$$，因此积分化简为：
$$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) , dx = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) , dt$$

将原积分记为 $I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) , dx$
又$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) , dt$

将这两个表达式相加：
$2I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) , dx + \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) , dx = \int_{0}^{\pi} \pi f(\sin x) , dx$
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) , dx$

又考虑到$f(sinx)$关于$x=\frac{\pi}{2}$对称

$\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) , dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) , dx= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) , dx$